HIMPUNAN DENUMERABEL

Himpunan Ekuivalen
Mudah untuk menjawab pertanyaan apakah dua buah himpunan berhingga mempunyai banyak elemen sama atau tidak. Dua himpunan berhingga yang mempunyai banyak elemen yang sama, pastilah dapat dibuat korespondensi 1-1 antar keduanya. Namun, bagaimana membandingkan dua buah himpunan tak berhingga?. Membandingkan  dua himpunan tak berhingga, sangat bergantung pada bagaimana dua himpunan tersebut ekuivalen atau tidak. Berikut akan didefinisikan dua buah himpunan yang ekuivalen.
v    Definisi :
Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen dinotasikan A ~ B (A ekuivalen B) jhj terdapat suatu fungsi bijektif dari A ke B.
v    Contoh :
1.    Misalkan G = [0,1] dan H = [2,5] maka G ~ H, karena dapat dibuat korespondensi 1-1 (fungsi bijektif) f : G ® H yang didefinisikan oleh : f(x) = 3x + 2. Tunjukkan bahwa f 1-1 dan pada
2.    Jika N = himpunan bilangan asli dan E = 2N = {2n|n bilangan asli} maka N ~ E karena karena dapat dibuat fungsi bijektif,  g : N ® E yang didefinisikan oleh : g(x) = 2x.

v    Teorema :
relasi pada keluarga himpunan yang didefinisikan A ~ B merupakan relasi ekuivalensi, yaitu : (1) refleksif, (2) simetris, dan (3) transitif
Bukti :
Ambil sebarang himpunan A, B, dan C, maka :
(1)    karena dapat dibuat fungsi identitas I dari A ke A, yaitu I(a) = a untuk "a Î A yang merupakan fungsi bijektif maka A ~ A. Dengan kata lain relasi ~ adalah reflektif
(2)    Jika A ~ B akan ditunjukkan bahwa B ~ A artinya ~ simetris :
Jika A ~ B maka terdapat fungsi bijektif f dari A ke B, sehingga terdapat pula fungsi bijektif h = f -1 dari B ke A maka B ~ A
(3)    Mahasiswa dipersilakan membuktikan bahwa  ~ adalah transitif.
     Himpunan Denumerabel
v    Definisi : Himpunan denumerable
Jika sebuah himpunan D ekuivalen  dengan himpunan bilangan asli N maka D dinamakan himpunan denumerable.
Contoh :
1.    P = {0, 2, 4, 6, .... } adalah denumerabel karena dapat dibentuk fungsi bijaktif f(x) =   dari P ke N
2.    Himpunan bilangan bulat Z juga denumerabel
Z =  {0, –1 , 1, –2, 2, –3, 3, ....... }

N = {1,  2,  3,  4,  5,  6,  7, ........ }
Fungsi g dari Z ke N dapat didefinisikan, sebagai :
g(a) =  , sehingga g adalah bijektif

     Bilangan Kardinal
Karena relasi ~ pada keluarga himpunan merupakan relasi ekuivalen maka menurut teorema fundamental tentang relasi ekuivalen bahwa keluarga himpunan tersebut terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalen.
v    Definisi Bilangan Kardinal
Misalkan A adalah sebarang himpunan dan a menyatakan keluarga himpunan yang ekuivalen dengan A, maka a disebut sebuah bilangan kardinal atau disebut kardinal saja (cardinal number) dan dinyatakan oleh a = # (A)
v    Definisi : kardinal dari himpunan berhingga
Bilangan kardinal dari himpunan f, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ….. berturut-turut dinyatakan oleh 0, 1, 2, 3, ….., dan dinamakan cardinal berhingga (finite cardinal}
v    Definisi : cardinal N dan interval satuan
Bilangan cardinal dari himpunan bilangan asli N dinyatakan oleh #(N) = a = N0 (dibaca “aleph null”) dan bilangan kardinal interval satuan [0,1] dan #([0,1]) = c
Catatan :
·himpunan denumerable D ~ N maka #(D) = a = N0 .
·Himpunan yang ekuivalen dengan interval [0.1] mempunyai bilangan kardinal c